Question

【題目】已知橢圓E: 經過點P(2,1)，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設O為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過定點，如果經過定點請求出定點的坐標，如果不經過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線AB過定點Q（0，﹣2）.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的幾何性質得到橢圓方程；（2）先由特殊情況得到結果，再考慮一般情況，聯立直線和橢圓得到二次函數，根據韋達定理，和向量坐標化的方法，得到結果。

（Ⅰ）由橢圓的離心率e=，則a2=4b2， 將P（2，1）代入橢圓，則，解得：b2=2，則a2=8， ∴橢圓的方程為： ；

（Ⅱ）當M，N分別是短軸的端點時，顯然直線AB為y軸，所以若直線過定點，這個定點一點在y軸上，

當M，N不是短軸的端點時，設直線AB的方程為y=kx+t，設A（x1，y1）、B（x2，y2），

由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·則△=16（8k2﹣t2+2）＞0，

x1+x2=，x1x2=，

又直線PA的方程為y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），

因此M點坐標為（0， ），同理可知：N（0， ），

由，則+=0，

化簡整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，

則（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，

當且僅當t=﹣2時，對任意的k都成立，直線AB過定點Q（0，﹣2）.