Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為

17

4

．
（I）求p于m的值；
（Ⅱ）設拋物線C上一點p的橫坐標為t（t＞0），過p的直線交C于另一點Q，交x軸于M點，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N．若MN是C的切線，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線方程得其準線方程，進而根據(jù)拋物線定義可知點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，求得p，則拋物線方程可得，把點A代入拋物線方程即可求得m．
（2）由題意知，過點P（t，t²）的直線PQ斜率存在且不為0，設其為k．則根據(jù)點斜式可知直線PQ的直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，解得方程的根，根據(jù)QN⊥QP，進而可知NQ的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，解得方程的根．進而可求得直線NM的斜率，依據(jù)MN是拋物線的切線，則可求得物線在點N處切線斜率進而可建立等式．根據(jù)判別式大于等于0求得t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：
y=-

p

2

，根據(jù)拋物線定義
點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，
即4+

p

2

=

17

4

，解得p=

1

2

∴拋物線方程為：x²=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±2
（Ⅱ）由題意知，過點P（t，t²）的直線PQ斜率存在且不為0，設其為k．
則l_PQ：y-t²=k（x-t），
當y=0，x=

-t2+kt

k

，
則M(

-t2+kt

k

，0)．
聯(lián)立方程

y-t2=k(x-t) x2=y

，
整理得：x²-kx+t（k-t）=0
即：（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t∴Q（k-t，（k-t）²），
而QN⊥QP，∴直線NQ斜率為-

1

k

∴lNQ：y-(k-t)2=-

1

k

[x-(k-t)]，
聯(lián)立方程

y-(k-t)2=- 1 k [x-(k-t)] x2=y

整理得：x2+

1

k

x-

1

k

(k-t)-(k-t)2=0，
即：kx²+x-（k-t）[k（k-t）+1]=0[kx+k（k-t）+1][x-（k-t）]=0，
解得：x=-

k(k-t)+1

k

，
或x=k-t∴N(-

k(k-t)+1

k

，

[k(k-t)+1]2

k2

)，
∴KNM=

[k(k-t)+1]2 k2

- k(k-t)+1 k - -t2+kt k

=

(k2-kt+1)2

k(t2-k2-1)

而拋物線在點N處切線斜率：k切=y′

|	x= k(k-t)+1 k

=-

k(k-t)+1

k

∵MN是拋物線的切線，
∴

(k2-kt+1)2

k(t2-k2-1)

=

-2k(k-t)-2

k

，
整理得k²+tk+1-2t²=0
∵△=t²-4（1-2t²）≥0，
解得t≤-

2

3

（舍去），或t≥

2

3

，∴tmin=

2

3

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學生對直線與拋物線的關系，直線的斜率等問題綜合把握．