Question

11．已知函數(shù)f（x）=a$\sqrt{x}$+b（lnx+1）+1的圖象在x=1處的切線方程為x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，恒有$\sqrt{x}$＞lnx；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意給定的正數(shù)M，總存在正實(shí)數(shù)x₀，使得當(dāng)x＞x₀時(shí)，恒有$\sqrt{x}$＞Mlnx．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{a}{2\sqrt{x}}+\frac{x}$，根據(jù)條件得出切點(diǎn)（1，1），切線斜率k=$-\frac{1}{2}$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f′（1）=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，這樣即建立關(guān)于a，b的方程組，解出a=1，b=-1；
（Ⅱ）根據(jù)求得的a，b得出$f′（x）=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}$，這樣根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可得出f（x）在x=4處取得最小值2-ln4＞0，從而得出f（x）＞0，進(jìn)而證出$\sqrt{x}＞lnx$；
（Ⅲ）對(duì)于?x＞0，要使得$\sqrt{x}＞Mlnx$，可設(shè)x=t²，從而只要t＞2Mlnt，即要$\sqrt{t}＞\frac{2M}{\sqrt{t}}lnt$，根據(jù)上面知，需滿(mǎn)足$\frac{2M}{\sqrt{t}}＜1$，這樣即可得出取${x}_{0}=16{M}^{4}$，即證得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{a}{{2\sqrt{x}}}+\frac{x}$，f（x）在x=1處的切線方程為x+2y-3=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=-\frac{1}{2}\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a+b+1=1\\ \frac{a}{2}+b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$；
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\sqrt{x}-lnx$，
∴$f′（x）=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}$；
當(dāng)x∈（0，4），f'（x）＜0，當(dāng)x∈（4，+∞），f'（x）＞0；
∴f（x）≥f（4）=2-ln4＞0，即$\sqrt{x}＞lnx$；
（Ⅲ）顯然對(duì)?x＞0要使$\sqrt{x}＞Mlnx$，設(shè)x=t²；
則只要$t＞2Mlnt?\sqrt{t}＞\frac{2M}{{\sqrt{t}}}lnt$；
由（Ⅱ）$\sqrt{t}＞lnt$，
∴只要$\frac{2M}{{\sqrt{t}}}＜1$即t＞4M²，取${t_0}=4{M^2}$，即${x_0}={t_0}^2=16{M^4}$；
∴對(duì)于任意給定的正數(shù)M，總存在正實(shí)數(shù)x₀=16M⁴，使得當(dāng)x＞x₀時(shí)，恒有$\sqrt{x}$＞Mlnx．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)最值的方法和過(guò)程，以及不等式的性質(zhì)，分析法證明問(wèn)題的過(guò)程．