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15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=aasin2θ+cos2θθR,且曲線C在極坐標(biāo)系中過(guò)點(diǎn)(2,π).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l{x=2+22ty=2t(t為參數(shù))與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),直線m過(guò)線段AB的中點(diǎn),且傾斜角是直線l的傾斜角的2倍,求m的極坐標(biāo)方程.

分析 (1)由曲線C在極坐標(biāo)系中過(guò)點(diǎn)(2,π),得到曲線C的極坐標(biāo)方程為4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4,由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程.
(2)直線l消去參數(shù)t,得直線l的普通方程為x-2y+2=0,聯(lián)立{x24+y2=1x2y+2=0,得x2+2x=0,求出AB的中點(diǎn)為M(-1,12),從而直線l的斜率為12,由此求出直線m的斜率為43.從而求出直線m的直角坐標(biāo)方程,進(jìn)而求出m的極坐標(biāo)方程.

解答 解:(1)∵曲線C在極坐標(biāo)系中過(guò)點(diǎn)(2,π),
∴把(2,π)代入曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2=aasin2θ+cos2θθR,
得:4=aasin2π+cos2π,解得a=4,
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=44sin2θ+cos2θθR,即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4,
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+4y2=4,即x24+y2=1.
(2)∵直線l{x=2+22ty=2t(t為參數(shù)),
∴消去參數(shù)t,得直線l的普通方程為x-2y+2=0,
聯(lián)立{x24+y2=1x2y+2=0,得x2+2x=0,解得x=-2或x=0,∴A(-2,0),B(0,1),
∴AB的中點(diǎn)為M(-1,12),
∵直線l的斜率為12,即tanα=12,∴tan2α=2×121122=43
∴直線m的方程為y-12=43(x+1),即8x-6y+11=0,
∴m的極坐標(biāo)方程為8ρcosθ-6ρsinθ+11=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程的求法,考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

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y米1.51.00.50.981.51.010.50.991.5
經(jīng)長(zhǎng)期觀察,y=f(t)的曲線可以近似地看出是函數(shù)y=Acos(ωt)+k(A>0)的曲線.浴場(chǎng)規(guī)定:當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放,根據(jù)以上數(shù)據(jù),當(dāng)天上午8:00時(shí)至晚上20:00時(shí)之間可供沖浪愛(ài)好者沖浪的時(shí)間約為多少時(shí)?( �。�
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(1)求曲線C的普通方程;
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