【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若的整數(shù)解有且唯一,求的取值范圍.
【答案】(1)只有一個(gè)零點(diǎn)(2)
【解析】
(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合極值即可判斷;(2)易發(fā)現(xiàn),再分和根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系討論題設(shè)成立時(shí)的取值范圍,求交集即可.
解:(1),當(dāng)時(shí),,函數(shù)單增,
且時(shí)函數(shù)值都已經(jīng)大于0了;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單減,
且,所以只有一個(gè)零點(diǎn)
(2)觀察發(fā)現(xiàn),下證除整數(shù)0外再無其他整數(shù) ,
①當(dāng)時(shí),,根據(jù)同向不等式乘法得到,因?yàn)?/span>,
所以,所以函數(shù)單增,且趨于時(shí)函數(shù)值顯然很大很大;
但要保證只有唯一整數(shù)0,需要,卻發(fā)現(xiàn)恒成立,
②當(dāng)時(shí),要保證只有唯一整數(shù)0,首先需要,得到
當(dāng)時(shí),,根據(jù)同向不等式得到,又因,
所以,所以函數(shù)在單減,且
綜上所述:的整數(shù)解有且唯一時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率,左頂點(diǎn)為,過點(diǎn)A作斜率為的直線l交橢圓C于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P為的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對于任意的都有?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由;
(3)若過點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)常數(shù),函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),判斷在上單調(diào)性,并加以證明;
(2)當(dāng)時(shí),研究的奇偶性,并說明理由;
(3)當(dāng)時(shí),若存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔仔細(xì)算相還”,其大意為:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,則該人第五天走的路程為( )
A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,,分別是棱,,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中,為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況,從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績,被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間(滿分150分),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組:第一組,,第二組,,第八組,,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
(1)求第七組的頻率,并完成頻率分布直方圖;
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值);
(3)若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求他們的分差的絕對值小于10分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為,,設(shè)四邊形的周長為,面積為,且滿足,則該雙曲線的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵(lì)顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個(gè)環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購物袋.
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