Question

已知x=0是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線(xiàn)的斜率為2e²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式并求單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

f′(x)

ex

，其中x∈（-2，m），問(wèn)：對(duì)于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上是否存在實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)確定實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求導(dǎo)f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，代入x=0，x=2，從而解出參數(shù)，從而得到f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）假設(shè)方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上存在實(shí)數(shù)根，令h（x）=x²-x-

2

3

(m-1)2，從而轉(zhuǎn)化為h（x）=x²-x-

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上存在零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（I）f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
由f′（0）=0，得b=-a，
∴f′（x）=[x²+（a+2）x]e^x，
又∵f′（2）=[4+2（a+2）]e²=2e²，
∴a=-3；
令f′（x）=（x²-x）e^x≥0解得x≤0或x≥1，
令f′（x）=（x²-x）e^x＜0解得0＜x＜1；
故f（x）=（x²-3x+3）e^x，單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0]，[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）假設(shè)方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上存在實(shí)數(shù)根，
設(shè)x₀是方程g（x）=

2

3

(m-1)2的實(shí)根，
即x₀²-x₀=

2

3

(m-1)2，
令h（x）=x²-x-

2

3

(m-1)2，
h（-2）=6-

2

3

(m-1)2=-

2

3

（m+2）（m-4），
h（m）=m（m-1）-

2

3

(m-1)2=

1

3

（m+2）（m-1）；
①當(dāng)m＞4或-2＜m＜1時(shí)，
h（-2）•h（m）＜0，
h（x）在（-2，m）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程g（x）=

2

3

(m-1)2有且只有一個(gè)根；
②當(dāng)1＜m＜4時(shí)，h（-2）＞0且h（m）＞0；
又∵h(yuǎn)（0）=-

2

3

(m-1)2＜0，
∴h（x）在（-2，m）有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程g（x）=

2

3

(m-1)2有兩個(gè)根；
③當(dāng)m=1時(shí)，h（x）=x²-x=0，
x=0或x=1；
方程g（x）=

2

3

(m-1)2有且只有一個(gè)根；
④當(dāng)m=4時(shí)，h（x）=x²-x-6=0，
方程g（x）=

2

3

(m-1)2有且只有一個(gè)根；
綜上所述，
對(duì)于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上存在實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m≥4或-2＜m≤1時(shí)，有唯一的實(shí)數(shù)解，
當(dāng)1＜m＜4時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．