Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上．問：應如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km²）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意建立相應的函數(shù)模型是解決本題的關(guān)鍵．為了方便解題，可以建立適當?shù)淖鴺讼担�通過坐標之間的關(guān)系建立矩形面積與動點坐標之間的函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)作為工具求解相應函數(shù)的最值問題．

解答：解：以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）
依題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py，且C（2，4）．∴2²=2p•4，∴p=

1

2

．
故曲線段OC的方程為y=x²（0≤x≤2）．
設(shè)P（x，x²）（0≤x≤2）是曲線段OC上的任意一點，則|PQ|=2+x，|PN|=4-x²
∴工業(yè)園區(qū)面積S=|PQ|•|PN|=（2+x）（4-x²）=8-x³-2x²+4x．
∴S′=-3x²-4x+4，令S′=0?x₁=

2

3

，x₂=-2，又∵0≤x＜2，∴x=

2

3

．
當x∈[0，

2

3

）時，S′＞0，S是x的增函數(shù)；
當x∈（

2

3

，2）時，S′＜0，S是x的減函數(shù)．
∴x=

2

3

時，S取到極大值，此時|PQ|=2+x=

8

3

，|PN|=4-x2=

32

9

，
S=

8

3

×

32

9

=

256

27

≈9.5（km²）．而當x=0時，S=8．
所以當x=

2

3

即|PQ|=

8

3

，|PN|=

32

9

，矩形的面積最大為S_max=9.5（km）²．
答：把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為

32

9

km，寬為

8

3

km時，工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積為9.5（km）²．

點評：本題考查函數(shù)模型的應用問題，首先要建立矩形面積的函數(shù)關(guān)系式，可以通過坐標之間的關(guān)系實現(xiàn)這一過程，對所找到的函數(shù)關(guān)系利用導數(shù)作為工具解決該最值問題，體現(xiàn)了導數(shù)在求解函數(shù)最值中的工具作用．實現(xiàn)了實際問題的數(shù)學化．