Question

3．函數(shù)f（x）=2（a-1）ln（e^x-1）+e^x，g（x）=（4a-2）x，其中a為常數(shù)（a＞$\frac{1}{2}$），f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，證明f′（x）≥4；
（Ⅱ）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，x₀滿足f（x₀）=4x₀，證明：當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）＞4x；
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂分別是函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-4x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的極值求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{3}{2}$時(shí)，由e^x-1＞0得f（x）的定義域是（0，+∞），
則f′（x）=e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x}-1}$+2≥2$\sqrt{{（e}^{x}-1）•\frac{1}{{e}^{x}-1}}$+2=4；
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-4x=ln（e^x-1）+e^x-4x，
∵f（x₀）=4x₀，∴F（x₀）=0，
由（Ⅰ）得F′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$+e^x-4≥0，
故F（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
∴x＞x₀時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（x₀）=0，
故f（x）＞4x；
（Ⅲ）∵h(yuǎn)（x）=2（a-1）ln（e^x-1）+e^x-（4a-2）x，
∴h′（x）=2（a-1）$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$+e^x-（4a-2），
令h′（x）=0，化簡(jiǎn)得：e^2x-（2a+1）e^x+（4a-2）=0，
解得：x=ln2或ln（2a-1），
①2a-1＞2即a＞$\frac{3}{2}$時(shí)，x₁=ln2，x₂=ln（2a-1），
∵x₂-x₁＞ln2，∴l(xiāng)n（2a-1）-ln2＞ln2，
∴a＞$\frac{5}{2}$；
②2a-1＜2即a＜$\frac{3}{2}$時(shí)，x₁=ln（2a-1），x₂=ln2，
∵x₂-x₁＞ln2，∴l(xiāng)n2-ln（2a-1）＞ln2，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜1（舍），
③2a-1=2即a=$\frac{3}{2}$時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足題意，
綜上，a的范圍是（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．