13．己知△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC，則△ABC面積的最大值是$\sqrt{3}$．

分析 設(shè)BC=x，則△ABC面積 S=$\frac{1}{2}AB•BCsinB=xsinB$=$\sqrt{{x}^{2}（1-co{s}^{2}B）}$又cosB=$\frac{B{C}^{2}+A{B}^{2}=A{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-B{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-{x}^{2}}{x}$．
即S=$\frac{1}{2}\sqrt{-{x}^{4}+8{x}^{2}-4}=\frac{1}{2}\sqrt{-（{x}^{2}-4）^{2}+12}$即可求出最值．

解答 解：設(shè)BC=x，則△ABC面積 S=$\frac{1}{2}AB•BCsinB=xsinB$=$\sqrt{{x}^{2}（1-co{s}^{2}B）}$
又因為cosB=$\frac{B{C}^{2}+A{B}^{2}=A{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-B{C}^{2}}{2BC}=\frac{2-{x}^{2}}{x}$．
即S=$\frac{1}{2}\sqrt{-{x}^{4}+8{x}^{2}-4}=\frac{1}{2}\sqrt{-（{x}^{2}-4）^{2}+12}$≤$\sqrt{3}$
故答案為：$\sqrt{3}$

點評 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題．屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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3．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$，an+1-an+anan+1=0（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．

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4．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（a-c，a-b），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若M是BC的中點，且AM=AC，求sin∠BAC的值．

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1．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若{an}和$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$都是等差數(shù)列，且公差相等．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=$\frac{1}{{4{a_n}}}$，cn=bn•bn+1，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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8．己知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的一個焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，則a=（　�。�
A．$\sqrt{19}$B．$\sqrt{13}$C．2D．1

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18．已知函數(shù)f（x）、g（x）：
x0123
f（x）2031
x0123
g（x）2103
則函數(shù)y=（f（g（x））的零點是 （　�。�
A．0B．1C．2D．3

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5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的上、下頂點分別為M，N點，P在橢圓C外，直線PM交橢圓于點A，若PN⊥NA，則點P的軌跡方程是（　�。�
A．y=x2+1（x≠0）B．y=x2+3（x≠0）
C．y2-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1（y＞0，x≠0）D．y=3（x≠0）

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2．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底曲直徑為4，高為4的圓柱體毛坯切削得到，削切削掉部分的體積與原毛坯體積的比值為（　�。�
A．$\frac{3}{8}$B．$\frac{5}{8}$C．$\frac{5}{12}$D．$\frac{7}{12}$

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3．函數(shù)f（x）=2（a-1）ln（ex-1）+ex，g（x）=（4a-2）x，其中a為常數(shù)（a＞$\frac{1}{2}$），f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時，證明f′（x）≥4；
（Ⅱ）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時，x0滿足f（x0）=4x0，證明：當(dāng)x＞x0時，f（x）＞4x；
（Ⅲ）設(shè)x1，x2分別是函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極大值點和極小值點，且x2-x1＞ln2，求a的取值范圍．

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