Question

1．已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0），與y軸交于點(diǎn)（0，-1），其最小值為-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=$\sqrt{f（x）+2}$-mx（m＞0）是[0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件設(shè)設(shè)f（x）=ax²+bx-1，即可得到f（1）=a+b-1=0，$\frac{-4a-^{2}}{4a}$=-1，解得即可，
（2）g（x）=$\sqrt{f（x）+2}$-mx=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-mx，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即可．

解答 解：（1）二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0），與y軸交于點(diǎn)（0，-1），其最小值為-1
設(shè)f（x）=ax²+bx-1，
則f（1）=a+b-1=0，$\frac{-4a-^{2}}{4a}$=-1，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x²-1，
（2）g（x）=$\sqrt{f（x）+2}$-mx=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-mx，
∴g′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-m，
∵g（x）是[0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
∴g（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-m≥0，在[0，+∞）上恒成立，
∴m≤$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
∵$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥0，
∴m≤0，
此時(shí)m∈∅，
當(dāng)∵g（x）是[0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
∴g′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-m≤0，在[0，+∞）上恒成立，
∴m≥$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$
∵$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$＜1，
∴m≥1，
故m的取值范圍為[1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)解析式求法和函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．