Question

13．在去年某段時(shí)間內(nèi)，一件商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：

x（元）	14	16	18	20	22
Y（件）	12	10	7	53

且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，
（1）求出y對(duì)x的線性回歸方程，并預(yù)測商品價(jià)格為24元時(shí)需求量的大�。�
（2）計(jì)算R²（保留三位小數(shù)），并說明擬合效果的好壞．
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$x，R²=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{y}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，可得y對(duì)x的線性回歸方程，并預(yù)測商品價(jià)格為24元時(shí)需求量的大�。�
（2）求出回歸模型的相關(guān)系數(shù)，可判斷回歸模型擬合效果的好壞．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（14+16+18+20+22）=18，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（12+10+7+5+3）=7.4，
14²+16²+18²+20²+22²=1 660，
=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{620-5×18×7.4}{1660-5×1{8}^{2}}$=$\frac{-46}{40}$=-1.15．
∴$\stackrel{∧}{a}$=7.4+1.15×18=28.1，
∴線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-1.15x+28.1．
當(dāng)x=24時(shí)，需求量為$\stackrel{∧}{y}$=-1.15x+28.1=0.5
（2）x=14時(shí)，y=12，差是0，
x=16時(shí)，y=9.7，差是0.3，
x=18時(shí)，y=7.4，差是0.4，
x=20時(shí)，y=5.1，差是0.1，
x=22時(shí)，y=2.8，差是0.2，
∴R²=1-（0+0.09+0.16+0.01+0.04）÷（21.16+6.76+0.16+5.76+19.36）=1-0.0056391=0.9943609，
由于0.9943609非常接近1，
故這個(gè)回歸模型擬合效果比較好．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報(bào)值的求法，是一個(gè)新課標(biāo)中出現(xiàn)的新知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過類似的題目．