Question

【題目】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；

（2）求證：AD⊥PB．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）連接BD，根據(jù)條件可知△ABD是正三角形，而G為AD邊的中點，則BG⊥AD，BG平面ABCD又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知BG⊥平面APD；（2）連接PG，由側(cè)面PAD為正三角形，G為AD邊的中點得到AD⊥PG，再由（1）可知BG⊥AD，PG，BG平面PBG，PG∩BG=G，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AD⊥平面PBG，而PB平面PBG，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AD⊥PB

試題解析：（1）連結(jié)PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD．

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．

又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．

（2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD．

所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．