Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，直線l：y=kx+t（k為常數(shù)，t≠0）與橢圓相交于A，B兩點，記△AOB的面積為S（其中O為坐標原點），則函數(shù)S=f（t）的奇偶性為（　�。�

• A． 偶函數(shù)
• B． 奇函數(shù)
• C． 非奇非偶函數(shù)
• D． 奇偶性與k的值有關(guān)

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1焦點在x軸上，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入橢圓方程，整理得：（9+16k²）x²+32ktx+16t²-16×9=0，由韋達定理及弦長公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，則O到直線AB的距離d=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，由f（-t）=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$=f（t），函數(shù)S=f（t）為偶函數(shù)．

解答 解：由題意可知：橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1焦點在x軸上，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（9+16k²）x²+32ktx+16t²-16×9=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{32kt}{9+16{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16{t}^{2}-16×9}{9+16{k}^{2}}$，
由弦長公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{3{2}^{2}{k}^{2}{t}^{2}}{（9+16{k}^{2}）^{2}}-\frac{4×16（{t}^{2}-9）}{9+16{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，
由點到直線的距離公式可知：O到直線AB的距離d=$\frac{丨0-k×0-t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{24\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$•$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，
∴S=f（t）=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$，
由f（-t）=$\frac{12丨t丨\sqrt{16{k}^{2}-{t}^{2}+9}}{9+16{k}^{2}}$=f（t），
∴函數(shù)S=f（t）為偶函數(shù)，
故選：B．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應用，考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查計算能力，屬于中檔題．