Question

20．若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿足對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），則稱f（x）為“V形函數(shù)”．若函數(shù)g（x）定義域?yàn)镽，恒大于0，且對(duì)任意x₁，x₂∈R，恒有l(wèi)g[f（x₁+x₂）]＜lg[f（x₁）]+lg[f（x₂）]，則稱g（x）為“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”．
（1）當(dāng)f（x）=x²時(shí)，判斷f（x）是否是“V形函數(shù)”并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)時(shí)g（x）=5^x+2判斷g（x）是否是“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)f（x）是“V形函數(shù)”，且滿足對(duì)任意x∈R都有f（x）≥2，問f（x）是否是“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”？請(qǐng)加以證明，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取x₁=x₂=1即可驗(yàn)證f（x）=x²不符合“V形函數(shù)”定義；
（2）比較g（x₁）+g（x₂）與g（x₁）g（x₂）的大小關(guān)系，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；
（3）判斷f（x₁）+f（x₂）與f（x₁）f（x₂）的大小關(guān)系，結(jié)合定義得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，則f（x₁+x₂）=f（2）=4，f（x₁）=f（x₂）=1，
∴f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂），不符合“V形函數(shù)”定義．
∴f（x）=x²不是“V形函數(shù)”．
（2）lg（g（x₁+x₂））=lg（5${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2）=lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2），
lg[g（x₁）]+lg[g（x₂）]=lg（5${\;}^{{x}_{1}}$+2）+lg（5${\;}^{{x}_{2}}$+2）=lg[（5${\;}^{{x}_{1}}$+2）（5${\;}^{{x}_{2}}$+2）]=lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2（5${\;}^{{x}_{1}}$+5${\;}^{{x}_{2}}$）+4），
∵5${\;}^{{x}_{1}}$＞0，5${\;}^{{x}_{2}}$＞0，
∴5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2（5${\;}^{{x}_{1}}$+5${\;}^{{x}_{2}}$）+4＞5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2，
∴l(xiāng)g（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2）＜lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2（5${\;}^{{x}_{1}}$+5${\;}^{{x}_{2}}$）+4），
即lg（g（x₁+x₂））＜lg[g（x₁）]+lg[g（x₂）]，
∴g（x）=5^x+2是“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”．
（3）若f（x）是“V形函數(shù)”，且f（x）＞2，則對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∴l(xiāng)g[f（x₁+x₂）]≤lg[f（x₁）+f（x₂）]，
∵f（x）＞2，∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁）f（x₂），
∴l(xiāng)g[f（x₁）+f（x₂）]＜lg[f（x₁）f（x₂）]=lg[（f（x₁）]+lg[f（x₂）]，
∴l(xiāng)g[f（x₁+x₂）]＜lg[f（x₁）]+lg[f（x₂）]，
∴g（x）為“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)新定義的理解與應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．