Question

12．2015年9月3日，抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念活動(dòng)在北京隆重舉行，收到全國(guó)人民的矚目．紀(jì)念活動(dòng)包括舉行紀(jì)念大會(huì)、閱兵式、招待會(huì)和文藝晚會(huì)等，據(jù)統(tǒng)計(jì)，抗戰(zhàn)老兵由于身體原因，參加紀(jì)念大會(huì)、閱兵式、招待會(huì)這三個(gè)環(huán)節(jié)（可參加多個(gè)，也可都不參加）的情況及其概率如表所示：

參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)	0	1	2	3
概率	$\frac{1}{6}$	m	n	$\frac{1}{3}$

（1）若m=2n，則從這60名抗戰(zhàn)老兵中按照參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)分層抽取6人進(jìn)行座談，求參加紀(jì)念活動(dòng)環(huán)節(jié)數(shù)為1的抗戰(zhàn)老兵中抽取的人數(shù)；
（2）某醫(yī)療部門決定從（1）中抽取的6名抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行體檢，求這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為3的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$m+n+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，再由m=2n，能求出這60名抗戰(zhàn)老兵中參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為0，1，2，3的抗戰(zhàn)老兵的人數(shù)分別為10，20，10，20，由此利用分層抽樣法能求出參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為1的抗戰(zhàn)老兵中應(yīng)抽取的人數(shù)．
（2）抽取的這6名抗戰(zhàn)老兵中1名參加了0個(gè)環(huán)節(jié)，記為A，2名參加了1個(gè)環(huán)節(jié)，記為B，C，1名參加了2個(gè)環(huán)節(jié)，分別記為D，2名參加了3個(gè)環(huán)節(jié)，分別記為E，F(xiàn)，從這6名抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2人，利用列舉法能求出這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為3的概率．

解答 解：（1）由題意可知：$m+n+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，
又m=2n，解得$m=\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{6}$
故這60名抗戰(zhàn)老兵中參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為0，1，2，3的抗戰(zhàn)老兵的人數(shù)分別為10，20，10，20，
其中參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為1的抗戰(zhàn)老兵中應(yīng)抽取的人數(shù)為$20×\frac{6}{60}=2$．
（2）由（1）可知抽取的這6名抗戰(zhàn)老兵中1名參加了0個(gè)環(huán)節(jié)，記為A，
2名參加了1個(gè)環(huán)節(jié)，記為B，C，1名參加了2個(gè)環(huán)節(jié)，分別記為D，
2名參加了3個(gè)環(huán)節(jié)，分別記為E，F(xiàn)，
從這6名抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2人，有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），
共15個(gè)基本事件，
記“這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為3”位事件M，
則事件M包含的基本事件為：
（A，E），（A，F(xiàn)），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，E），（C，F(xiàn)），
（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共9個(gè)基本事件．
所以這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為3的概率$P（M）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．