Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）設(shè)BD=1，求三棱柱D-ABC的表面積、體積、內(nèi)切球半徑、外接球半徑．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由題意可知：BD=CD=AD=1，AB=BC=AC=
故三棱柱D-ABC的表面積S=+=
三棱柱D-ABC的體積V==
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，
由等體積的方法可得V=4×S×r，解得r=
三棱柱D-ABC的外接球的直徑為以BA，DB，DC為棱的正方體的體對(duì)角線，
故2R=，解得R=
分析：（Ⅰ）注意折疊前后的量的關(guān)系，用面面垂直的判定可得：
（Ⅱ）由題意可得三棱錐的棱長(zhǎng)，可求得表面積和體積，由等體積的方法可求內(nèi)切球的半徑，把三棱柱D-ABC的外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題為折疊問(wèn)題，注意前后的量的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，屬中檔題．