Question

15．已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，證明：函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜0，那么0＜-x₂＜-x₁＜+∞．由函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性可得f（-x₂）＞f（-x₁），結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x₁）＜f（x₂）；由函數(shù)單調(diào)性的定義即可得證明．

解答 證明：設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜0，那么0＜-x₂＜-x₁＜+∞．
由于偶函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，故有：f（-x₂）＞f（-x₁）
又根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
綜上可得：f（x₁）＜f（x₂）；
故f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題，涉及函數(shù)單調(diào)性的證明，關(guān)鍵是運用偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．