【題目】已知F1、F2是橢圓C的左右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B為其左右頂點(diǎn),P為橢圓C上(異于A、B)的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, )時(shí),△PF1F2的面積為 ,分別過(guò)點(diǎn)A、B、P作橢圓C的切線l1 , l2 , l,直線l與l1 , l2分別交于點(diǎn)R,T.
(1)求橢圓C的方程;
(2)(i)求證:以RT為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo);
(ii)求△RTM的面積最小值.
【答案】
(1)解:∵F1、F2是橢圓C的左右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B為其左右頂點(diǎn),
P為橢圓C上(異于A、B)的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, )時(shí),△PF1F2的面積為 ,
∴ = ,解得c=1,
又∵2a=|PF1|+|PF2|=4,∴a=2,b= ,
故橢圓C的方程為 .
(2)證明:(i)由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l為:y=kx+m,
聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=0,
化簡(jiǎn),得m2=3+4k2,
R(﹣2,﹣2k+m),T(2,2k+m),
由對(duì)稱(chēng)性,知定點(diǎn)M在x軸上,
設(shè)M(x,0),M在RT為直線的圓上,∴MR⊥MT,
∴ =(﹣2﹣x)(2﹣x)+(﹣2k+m)(2k+m)=x2﹣4+m2﹣4k2=0,
解得x=±1,
∴定點(diǎn)M即為左右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,其坐標(biāo)為(±1,0).
解:(ii)由圖形的對(duì)稱(chēng)性,不妨取M為右焦點(diǎn)F2(1,0),
點(diǎn)P在x軸上方,
S△RTM=S四邊形ABTR﹣S△BDA=2(m+k),
令m+k=t,則m=t﹣k,代入m2=3+4k2,
得3k2+2tk+3﹣t2=0,
△=4(4t2﹣9)≥0,
∵t>0,∴t≥ ,S△RDA≥3,
當(dāng)m=2,k=﹣ 時(shí),取等號(hào),
故△RTM的面積的最小值為3.
【解析】(1)由當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, )時(shí),△PF1F2的面積為 ,求出c=1,2a=|PF1|+|PF2|=4,由此能求出橢圓C的方程.(2)(i)設(shè)直線l為:y=kx+m,與橢圓聯(lián)立,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,由此利用根的判別式、橢圓對(duì)稱(chēng)性,向量數(shù)量積,結(jié)合已知條件能證明以RT為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo).(ii)由圖形的對(duì)稱(chēng)性,取M為右焦點(diǎn)F2(1,0),S△RTM=S四邊形ABTR﹣S△BDA=2(m+k),由此能求出△RTM的面積的最小值為3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①若 , 是第一象限角且 ,則 ;
②函數(shù) 在上是減函數(shù);
③ 是函數(shù) 的一條對(duì)稱(chēng)軸;
④函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱(chēng);
⑤設(shè) ,則函數(shù) 的最小值是,其中正確命題的序號(hào)為 __________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先后拋擲兩枚骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,則( )
(A)P1=P2<P3 (B)P1<P2<P3 (C)P1<P2=P3 (D)P3=P2<P1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),設(shè)映射f:(x,y)→( , ),并定義|(x,y)|= ,若|f[f(f(x,y))]|=8,則|(x,y)|的值為( )
A.4
B.8
C.16
D.32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)
參加書(shū)法社團(tuán) | 未參加書(shū)法社團(tuán) | |
參加演講社團(tuán) | 8 | 5 |
未參加演講社團(tuán) | 2 | 30 |
(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)的概率;
(2)在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從2013年開(kāi)始,國(guó)家教育部要求高中階段每學(xué)年都要組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試,方案要求以學(xué)校為單位組織實(shí)施,某校對(duì)高一(1)班學(xué)生根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的測(cè)試項(xiàng)目按百分制進(jìn)行了預(yù)備測(cè)試,并對(duì)50分以上的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖.所示,已知[90,100]分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2.
(1)求[70,80)分?jǐn)?shù)段的人數(shù);
(2)現(xiàn)根據(jù)預(yù)備測(cè)試成績(jī)從成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生中任意選出2人代表班級(jí)參加學(xué)校舉行的一項(xiàng)體育比賽,求這2人的成績(jī)一個(gè)在[80,90)分?jǐn)?shù)段、一個(gè)在[90,100]分?jǐn)?shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費(fèi) | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:
出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計(jì)值;
(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定集合A={a1 , a2 , a3 , …,an}(n∈N* , n≥3)中,定義ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N*)中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩元素和的容量,用L(A)表示.若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,設(shè)集合A={a1 , a2 , a3 , …,a2016},則L(A)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+ sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π,給出下列四個(gè)命題:
①f(x)的最大值為3;
②將f(x)的圖象向左平移 后所得的函數(shù)是偶函數(shù);
③f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調(diào)遞增;
④f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng).
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是( )
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④
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