Question

6．已知點(diǎn)P（5，3，6），直線l過點(diǎn)A（2，3，1），且一個(gè)方向向量$\overrightarrow l=（{1，0，-1}）$，則點(diǎn)P到直線l的距離為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{PA}$=（-3，0，-5），sin＜$\overrightarrow{l}$，$\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{4}{\sqrt{17}}$，即可求出點(diǎn)P（5，3，6）到直線l的距離．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{PA}$=（-3，0，-5），
∵$\overrightarrow l=（{1，0，-1}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{l}$，$\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{-3+5}{\sqrt{9+25}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{l}$，$\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{4}{\sqrt{17}}$
∵|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{34}$，
∴P（5，3，6）到直線l的距離為4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)P（5，3，6）到直線l的距離，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．