Question

10．定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x），則f（2015）=-1．

Answer 1

分析 根據(jù)f（1+x）=f（1-x）即可得出f（-x）=f（x+2），而f（-x）=-f（x），從而可得出f（x）=f（x+4），這便說(shuō)明f（x）是周期為4的周期函數(shù)，從而可得出f（2015）=f（-1），通過(guò)條件可求出f（-1），從而可得出f（2015）的值．

解答 解：根據(jù)條件：
f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，且f（-x）=-f（x）；
∴f（-x）=f（x+2）=-f（x）；
∴f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
∴$f（2015）=f（4•504-1）=f（-1）=sin（-\frac{π}{2}）=-1$．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 考查由f（a-x）=f（b+x）可得出f（x）關(guān)于$x=\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，并可得到f（-x）=f（a+b+x），以及周期函數(shù)的定義，已知函數(shù)求值的方法．