Question

5．設命題p：方程$\frac{x^2}{9-k}$+$\frac{y^2}{k-1}$=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{k}$=1的離心率e∈（1，2）．
（1）若“p且q”為真命題，求k的取值范圍；
（2）當k=6時，求雙曲線的焦點到漸近線的距離．

Answer 1

分析 （1）分別求出命題p，q為真時，k的范圍，若“p且q”為真命題，求兩個范圍的交集即可；
（2）雙曲線的焦點到漸近線的距離d=b，將k=6代入可得答案．

解答 解：（1）若命題p：方程$\frac{x^2}{9-k}$+$\frac{y^2}{k-1}$=1表示焦點在y軸上的橢圓為真，
則0＜9-k＜k-1，
解得：k∈（5，9）；
若雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{k}$=1的離心率e∈（1，2），
則：k∈（0，12），
若“p且q”為真命題，則k∈（0，12），
（2）當k=6時，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$的b²=6，
解得：b=$\sqrt{6}$，
故雙曲線的焦點到漸近線的距離d=b=$\sqrt{6}$．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，橢圓和雙曲線的簡單性質，難度中檔．