Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-4-k|x-2|，x∈[0，4]．
（1）若k=6，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）的最大值是8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）k=6時，函數(shù)f（x）=x²-4-6|x-2|，x∈[0，4]．對x分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）方法一：當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x²+kx-2k-4，對k分類討論：當(dāng)-$\frac{k}{2}$≤1，即k≥-2時，當(dāng)-$\frac{k}{2}$＞1，即k＜-2時，；與二次函數(shù)的單調(diào)性可得．當(dāng)x∈[2，4]時，f（x）=x²-kx+2k-4，同理分類討論：當(dāng)$\frac{k}{2}$＜3，即k＜6時；當(dāng)$\frac{k}{2}$≥3，即k≥6時．當(dāng)-2≤k＜6時，當(dāng)k＜-2時，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
方法二：當(dāng)x∈[0，4]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x2+kx-2k-4，0≤x≤2\\ x2-kx+2k-4，2＜x≤4\end{array}$．由于y=f（x）在區(qū)間[0，4]上圖象由兩段拋物線段組成，且這兩個拋物線開口均向上，因此其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．

解答 解：（1）k=6時，函數(shù)f（x）=x²-4-6|x-2|，x∈[0，4]．
當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x²+6x-16=（x+3）²-25，當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值是f（2）=0，
當(dāng)x∈（2，4]時，f（x）=x²-6x+8=（x-3）²-1，當(dāng)x=4時，函數(shù)f（x）取得最大值是f（4）=0．
綜上可得：k=6，則f（x）的最大值是0．
（2）方法一：當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x²+kx-2k-4，
①當(dāng)-$\frac{k}{2}$≤1，即k≥-2時，f（x）_max=f（2）=0；
②當(dāng)-$\frac{k}{2}$＞1，即k＜-2時，f（x）_max=f（0）=-2k-4； 
當(dāng)x∈[2，4]時，f（x）=x²-kx+2k-4，
①當(dāng)$\frac{k}{2}$＜3，即k＜6時，f（x）_max=f（4）=12-2k；
②當(dāng)$\frac{k}{2}$≥3，即k≥6時，f（x）_max=f（2）=0；　
當(dāng)k≥6時，f（x）_max=f（2）=0；
當(dāng)-2≤k＜6時，因?yàn)閒（4）＞0，所以f （x）_max=12-2k；
當(dāng)k＜-2時，f（4）＞f（0），所以f （x）_max=12-2k，
綜上，當(dāng)k＜6時，最大值為12-2k；當(dāng)k≥6時，最大值為0，
令12-2k=8，得k=2．　
方法二：當(dāng)x∈[0，4]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x2+kx-2k-4，0≤x≤2\\ x2-kx+2k-4，2＜x≤4\end{array}$
∵y=f（x）在區(qū)間[0，4]上圖象由兩段拋物線段組成，且這兩個拋物線開口均向上，
∴其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．
又f（0）=-2k-4，f（2）=0，f（4）=12-2k，
顯然f（4）＞f（0），∴當(dāng)k＜6時，最大值為f（4）=12-2k；
當(dāng)k≥6時，最大值為f（2）=0．令12-2k=8，得k=2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、絕對值函數(shù)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．