Question

16．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線C：ρ=2cosθ，過點P（-1，0）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\\ y=\frac{1}{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），且直線l與曲線C分別交于點A，B
（1）求|AB|；
（2）若點Q是曲線C上任意一點，R是線段PQ的中點，過點R作x軸的垂線段RH，H為垂足，點G在射線HR上，且滿足|HG|=3|HR|，求點G的軌跡C′的參數(shù)方程并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析 （1）首先分別求出直線和圓的普通方程，然后求直線被圓截得的弦長；
（2）由題意得到原的參數(shù)方程，得到R，H的坐標，利用線段關(guān)系得到坐標關(guān)系，從而求G的軌跡方程和軌跡．

解答 解：（1）∵$\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ，\;\;}\\{y=ρsinθ，\;\;}\end{array}}\right.$且曲線C：ρ=2cosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1，
曲線C是圓心為（1，0），半徑為r=1的圓．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}t\\ y=\frac{1}{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為$x+2\sqrt{2}y+1=0$，
∴圓心C到直線l的距離為$d=\frac{|1+1|}{{\sqrt{1+8}}}=\frac{2}{3}$，∴$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2×\sqrt{1-{{（{\frac{2}{3}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$．…（5分）
（2）由題，可得圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.$（其中φ為參數(shù)，φ∈[0，2π）），
設(shè)圓C上的任意一點Q（1+cosφ，sinφ），則線段PQ的中點R$（{\frac{1}{2}cosφ，\;\;\frac{1}{2}sinφ}）$，∵RH⊥x軸，∴$H（{\frac{1}{2}cosφ，\;\;0}）$，
∵點G在射線HR上，且滿足|HG|=3|HR|，∴$\left\{\begin{array}{l}{x_G}={x_R}=\frac{1}{2}cosφ\\{y_G}=3{y_R}=\frac{3}{2}sinφ\end{array}\right.$
∴點G的軌跡C'的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosφ，\;\;}\\{y=\frac{3}{2}sinφ，\;\;}\end{array}}\right.$（其中φ為參數(shù)，φ∈[0，2π）），
軌跡C'是焦點在y軸，長軸長為3，短軸長為1的橢圓．…（10分）

點評 本題考查了直線和圓眼睛橢圓的參數(shù)方程；注意普通方程與參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．