Question

6．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$給出下列四個(gè)命題：
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=π+2kπ（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最小值-1；
③該函數(shù)的圖象關(guān)于x=$\frac{5π}{4}$+2kπ（k∈Z）對(duì)稱；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）時(shí)，0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
其中正確命題的序號(hào)是③④．（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)判斷四個(gè)命題的真假，此函數(shù)取自變量相同時(shí)函數(shù)值小的那一個(gè)，由此可順利作出函數(shù)圖象．

解答 解：由題意函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$，
畫出f（x）在x∈[0，2π]上的圖象．
由圖象知，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)都取得最小值-1，故①②錯(cuò)誤，
由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{4}$+2kπ（k∈Z）對(duì)稱，
在2kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）時(shí)，0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故③④正確．
故答案為   ③④

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，本題是函數(shù)圖象的運(yùn)用，由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，并以由圖象研究出的結(jié)論判斷和函數(shù)有關(guān)的命題的真假．