Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，e）和（e，

3

2

），其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）為橢圓C上一點，取點A(0，

2

)，E(x0，0)，連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D．點G是點D關(guān)于原點的對稱點，證明：直線QG與橢圓C只有一個公共點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）把點（1，e）和（e，

3

2

）代入橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a²=2，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，0），由題意知AE與AD垂直，

AE

•

AD

=x1

x

0

+2=0，由點G是點D關(guān)于原點的對稱點，得到G（

2

x0

，0），由此推導(dǎo)出直線QG與橢圓C只有一個公共點．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點（1，e）和（e，

3

2

），
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e2 a2 + 3 4 b2 =1

，∴

1 a2 + a2-b2 a2b2 =1 a2-b2 a4 + 3 4b2 =1

，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），
∴

AE

=（x0，-

2

），

AD

=（x1，-

2

），
由題意知AE與AD垂直，∴

AE

•

AD

=x1

x

0

+2=0，∴x₁=-

2

x0

，
又∵點G是點D關(guān)于原點的對稱點，
∴G（

2

x0

，0），
∴kQG=

y0-0

x0- 2 x0

=

y0•x0

x02-2

=

x0

-2y0

，
∴l(xiāng)_QC：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
整理，得y=

2-x0•x

2y0

，（*）
將（*）式代入橢圓方程，得x2+2•(

2-x0•x

2y0

)2=2，
整理，得2x²-4x₀•x+2x 0 ²=0，
△=（-4x₀）²-4（2×

2x

2 0

）=0
∴直線QG與橢圓C只有一個公共點．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓只有一個公共點的證明，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．