Question

3．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），總有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，當x＞1時，f（x）＞1．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（3）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

分析 （1）令m=n=1，m=n=-1，求f（1），f（-1）的值；
（2）令m=x，n=-1，判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）設x₁＞x₂，由已知得出$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}＞1$，即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調遞增．

解答 解：（1）令m=n=1，則有f（1）=f（1）f（1），
又f（x）＞0，則f（1）=1（2分）
令m=n=-1，則有f（1）=f（-1）f（-1），
又f（1）=1，f（x）＞0，則f（-1）=1；（4分）
（2）證明：定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
令m=x，n=-1，則有f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)；  （7分）
（3）證明：?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂（8分）
令mn=x₁，m=x₂，則$n=\frac{x_1}{{{x_{\;}}}}$，
所以$f（{x_1}）=f（{x_2}）f（\frac{x_1}{x_2}）$，
又f（x）＞0，$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}=f（\frac{x_1}{x_2}）$，由x₁＞x₂＞0，則$\frac{x_1}{x_2}＞1$，
而當x＞1時，f（x）＞1，
所以$f（\frac{x_1}{x_2}）＞1$，即$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}＞1$，
又f（x）＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)． （12分）

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)表達式反映函數(shù)性質及抽象函數(shù)表達式的應用，函數(shù)單調性、奇偶性的定義及其證明，考查轉化化歸的思想方法．