Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求cos（B+C）的值；
（Ⅱ）若S_△ABC=$\frac{3\sqrt{15}}{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦、余弦定理，求出cosA的值，
再根據(jù)內(nèi)角和定理求出cos（B+C）的值；
（Ⅱ）由cosA求出sinA的值，再三角形面積公式求出c的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，
∴sinA+sinB=2sinC，
由正弦定理得a+b=2c，
又a=2b，可得b=$\frac{2}{3}$c，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{\frac{4}{9}c}^{2}{+c}^{2}-{\frac{16}{9}c}^{2}}{2×{\frac{2}{3}c}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∵A+B+C=π，
∴B+C=π-A，
∴cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）△ABC中，由cosA=-$\frac{1}{4}$，
得sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$c²×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{12}$c²，
∴$\frac{\sqrt{15}}{12}$c²=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$，
解得c=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了三角形面積公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．