Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）令，的最大值為A，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，對任意，求在區(qū)間上零點個數(shù)的所有可能值.

Answer 1

【答案】（1）非奇非偶函數(shù)，理由見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）特值法：ω＝1時，寫出f（x）、F（x），求出F（）、F（），結合函數(shù)奇偶性的定義可作出正確判斷；

（2）當時，利用誘導公式、兩角和的正弦公式展開及輔助角公式求得h（x），進而求得h（x）的最大值A，由題意可知：對稱軸，解得，即可求得θ的取值范圍．

（3）根據(jù)圖象平移變換求出g（x），令g（x）＝0可得g（x）可能的零點，而[a，a+10π]恰含10個周期，分a是零點，a不是零點兩種情況討論，結合圖象可得g（x）在[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值；

（1）當時，f（x）＝2sinx，

∴F（x）＝f（x）+f（x）＝2sinx+2sin（x）＝2（sinx+cosx），

F（）＝2，F（）＝0，F（）≠F（），F（）≠﹣F（），

所以，F（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

（2）當時，

∵∴

由題意，在區(qū)間上單調遞減

∴拋物線對稱軸，即

∴

（3）f（x）＝2sin2x，

將y＝f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位后得到y＝2sin2（x）+1的圖象，所以g（x）＝2sin2（x）+1．

令g（x）＝0，得x＝kπ或x＝kπ（k∈z），

因為[a，a+10π]恰含10個周期，所以，當a是零點時，在[a，a+10π]上零點個數(shù)21，

當a不是零點時，a+kπ（k∈z）也都不是零點，區(qū)間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[a，a+10π]上有20個零點．

綜上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值為21或20．