Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實數(shù).

（1）當時，判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)，使得對任意的，恒成立？若不存在，請說明理由；若存在，求出的值并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）在和上單調(diào)遞增（2）存在，，證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得，，設(shè)，由恒成立，即可得到本題答案；

（2）當時，，則，求的最大值，可確定a的取值范圍；當時，，則，求的最小值，可確定a的取值范圍，綜上，即可得到本題答案.

（1）當時，，，

令，.

當時，，當時，.

∴，

∴恒成立，

∴時，恒成立.

∵恒成立，

∴在和上單調(diào)遞增.

（2）①當時，，則，

令，則，

再令，則，

故當時，，所以在上單調(diào)遞減，

所以當時，，所以，

所以在上單調(diào)遞增，，所以.

②當時，，則.

由①知當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，

所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以.

綜合①②得：.