Question

16．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)$f（x）=2sin（wx+φ）（w＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$的任意兩點(diǎn)，且角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（1，-\sqrt{3}）$，若|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{6}]$時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|f（x₁）-f（x₂）|=4，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．可得T=$\frac{2π}{3}$．角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（1，-\sqrt{3}）$，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解φ，可得解析式．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）根據(jù)$x∈[0，\frac{π}{6}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，mf（x）+2m≥f（x）化簡為（m-1）f（x）≥-2m，對(duì)m-1與0的大小進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化為不等式求解．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sin（wx+φ）（w＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$，
∵|f（x₁）-f（x₂）|=4，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
∴T=$\frac{2π}{3}$，
可得ω=$\frac{2π}{T}$=3，
∴f（x）=2sin（3x+φ）
角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（1，-\sqrt{3}）$，即tanφ=$\frac{x}{y}$=$-\sqrt{3}$．
∵$-\frac{π}{2}＜$φ＜0
∴φ=$-\frac{π}{3}$．
故得函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）
（2）由（1）可得f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）
令：$-\frac{π}{2}+2kπ$≤3x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
解得：$-\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ$$≤x≤\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ$，k∈Z
故得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{18}+\frac{2}{3}kπ$，$\frac{5π}{18}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z．
（3），當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{6}]$時(shí)，可得3x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]
∴sin（3x-$\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]
則f（x）∈[$-\sqrt{3}$，1]
由不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，可得（m-1）f（x）≥-2m，
當(dāng)m-1=0時(shí)，即m=1，可得0≥-2恒成立，∴m=1．
當(dāng)m-1＞0時(shí)，即m＞1，可得f（x）≥$\frac{-2m}{m-1}$，只需$\frac{-2m}{m-1}≤-\sqrt{3}$，
解得：m$≥-2\sqrt{3}-3$．
可得m＞1．
當(dāng)m-1＜0時(shí)，即m＜1，可得f（x）≤$\frac{-2m}{m-1}$，只需1$≤\frac{-2m}{m-1}$
解得：m$≥\frac{1}{3}$
可得：$\frac{1}{3}$≤m＜1．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍[$\frac{1}{3}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，求解出f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題