Question

13．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC、A₁D₁的中點．
（1）求證：四邊形B₁EDF是菱形；
（2）求異面直線A₁C與DE所成的角 （結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，取AD中點G，連接FG，BG，可證四邊形B₁BGF為平行四邊形，得BG∥B₁F，再由ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，且E，G分別為BC，AD的中點，可得BEDG為平行四邊形，得BG∥DE，BG=DE，從而得到B₁F∥DE，且B₁F=DE，進一步得到四邊形B₁EDF為平行四邊形，再由△B₁BE≌△B₁A₁F，可得B₁E=B₁F，得到四邊形B₁EDF是菱形；
（2）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，然后利用空間向量求異面直線A₁C與DE所成的角．

解答 （1）證明：

取AD中點G，連接FG，BG，可得B₁B∥FG，B₁B=FG，
∴四邊形B₁BGF為平行四邊形，則BG∥B₁F，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，且E，G分別為BC，AD的中點，
可得BEDG為平行四邊形，∴BG∥DE，BG=DE，
則B₁F∥DE，且B₁F=DE，
∴四邊形B₁EDF為平行四邊形，由△B₁BE≌△B₁A₁F，可得B₁E=B₁F，
∴四邊形B₁EDF是菱形；
（2）解：以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，則A₁（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{DE}=（1，-\frac{1}{2}，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴異面直線A₁C與DE所成的角為arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求異面直線所成角，是中檔題．