Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）令是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且滿足求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論函數(shù)單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值（2）先轉(zhuǎn)化不等式不妨取，則，即恒成立，即在上單調(diào)遞增，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在恒成立.最后利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，求參數(shù).（3）不等式有解問(wèn)題與恒成立問(wèn)題一樣，先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，這要用到二次求導(dǎo)，才可確定函數(shù)單調(diào)性：在上單調(diào)遞增，進(jìn)而確定函數(shù)最值

試題解析：解（1），令，則，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

的最小值為；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

的最小值為.

綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

（2）,對(duì)于任意的，不妨取，則,

則由可得，

變形得恒成立，

令，

則在上單調(diào)遞增，

故在恒成立，

在恒成立.

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，

.

（3），

.

，，使得成立.

令，則，

令，則由 可得或（舍）

當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增.

在上恒成立.

在上單調(diào)遞增.

，即.

實(shí)數(shù)的最大值為.