Question

1．${∫}_{0}^{x}$（a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ）dx=x（x+1）ⁿ，則a₁+a₂+…+a_n=（n+2）2^n-1-1．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的計(jì)算方法和求導(dǎo)法則得到（x+1）ⁿ+nx（x+1）^n-1=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再分別令x=1或x=0即可求出答案．

解答 解：${∫}_{0}^{x}$（a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ）dx=x（a₀+$\frac{1}{2}$a₁x+$\frac{1}{3}$a₂x²+…+$\frac{1}{n+1}$a_nxⁿ）=x（x+1）ⁿ，
∴x（x+1）ⁿ=a₀x+$\frac{1}{2}$a₁x²+$\frac{1}{3}$a₂x³+…+$\frac{1}{n+1}$a_nxⁿ⁺¹，
兩邊求導(dǎo)可得（x+1）ⁿ+nx（x+1）^n-1=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1，則a₀+a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ+n•2^n-1=（n+2）2^n-1，
再令x=0，則a₀=1，
∴a₁+a₂+…+a_n=（n+2）2^n-1-1，
故答案為：（n+2）2^n-1-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，在二項(xiàng)展開式中，通過給變量賦值，求得某些項(xiàng)的系數(shù)和，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于中檔題．