Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求過點(diǎn)A（2，2）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3，求導(dǎo)，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=-3，解方程組即可求得，a，b，c的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）設(shè)切點(diǎn)，求切線方程，得到2=-2x₀³+6x₀²-6，解方程可得x₀，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，進(jìn)而得到所求切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3ax²+2bx+c，
依題意$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b+c=0}\\{f′（-1）=3a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
又f'（0）=-3即c=-3
∴a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀³-3x₀），
∵f'（x）=3x²-3∴切線的斜率為f'（x₀）=3x₀²-3，
∴切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀），
又切線過點(diǎn)A（2，2），
∴2-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（2-x₀），
∴2x₀³-6x₀²+8=0，即為2（x₀+1）（x₀-2）²=0，
解得x₀=-1或2，
可得過點(diǎn)A（2，2）的切線斜率為0或9，
即有過點(diǎn)A（2，2）的切線方程為y-2=0或y-2=9（x-2），
即為y-2=0或9x-y-16=0．

點(diǎn)評(píng) 此題是中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．