Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x-2）lnx-ax+1．
（1）若f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在唯一整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$lnx+1-\frac{2}{x}≥a$在（1，+∞）上恒成立即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）令g（x）=（x-2）lnx，x＞0，h（x）=ax-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=lnx+1-\frac{2}{x}-a$，
要使f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，只需f'（x）≥0，
即$lnx+1-\frac{2}{x}≥a$在（1，+∞）上恒成立即可，
易知$y=lnx+1-\frac{2}{x}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以只需a≤y_min即可，
易知當(dāng)x=1時(shí)，y取最小值，${y_{min}}=ln1+1-\frac{2}{1}=-1$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．
（2）不等式f（x₀）＜0即（x₀-2）lnx₀＜ax₀-1，
令g（x）=（x-2）lnx，x＞0，h（x）=ax-1，
則$g'（x）=lnx+1-\frac{2}{x}$，g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g'（1）=-1＜0，g'（2）=ln2＞0，
∴存在實(shí)數(shù)m∈（1，2），使得g'（m）=0，
當(dāng)x∈（1，m）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（m）．g（1）=g（2）=0，
畫出函數(shù)g（x）和h（x）的大致圖象如下，

h（x）的圖象是過(guò)定點(diǎn)C（0，-1）的直線，
由圖可知若存在唯一整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0成立，
則需k_BC＜a≤min{k_AC，k_DC}，
而${k_{AC}}-{k_{DC}}=1-\frac{ln3+1}{3}=\frac{2-ln3}{3}＞0$，∴k_AC＞k_DC．
∵${k_{BC}}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}＜a≤\frac{ln3+1}{3}$．
于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{\frac{1}{2}，\frac{ln3+1}{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．