Question

18．如圖1，一根長(zhǎng)l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是：s=3cos（$\sqrt{\frac{g}{l}}$t+$\frac{π}{3}$），t∈[0，+∞），（其中g(shù)≈1000cm/s²）；

（1）當(dāng)t=0時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的位移s是多少cm？
（2）若l=40cm，小球每1s能往復(fù)擺動(dòng)多少次？要使小球擺動(dòng)的周期是1s，則線的長(zhǎng)度應(yīng)該調(diào)整為多少cm？
（3）某同學(xué)在觀察小球擺動(dòng)時(shí)，用照相機(jī)隨機(jī)記錄了小球的位置，他共拍攝了300張照片，并且想估算出大約有多少?gòu)堈掌瑵M足小球離開(kāi)平衡位置的距離（位移的絕對(duì)值）比t=0時(shí)小球離開(kāi)平衡位置的距離小．為了解決這個(gè)問(wèn)題，他通過(guò)分析，將上述函數(shù)化簡(jiǎn)為f（x）=3cos（x+$\frac{π}{3}$），x∈[0，2π）．請(qǐng)幫他在圖2中畫(huà)出y=f（x）的圖象并解決上述問(wèn)題．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)解析式求解即可．
（2）求出函數(shù)的周期，然后求解即可．
（3）畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用已知條件通過(guò)概率轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）小球擺動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是：
s=3cos（$\sqrt{\frac{g}{l}}$t+$\frac{π}{3}$），t∈[0，+∞），當(dāng)t=0時(shí)，s=3cos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，
即小球離開(kāi)平衡位置的位移s是$\frac{3}{2}cm$；
（2）周期$T=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{l}}}$=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{40}{1000}}$=$\frac{2π}{5}$，所以頻率$f=\frac{1}{T}=\frac{5}{2π}$，即小球每1s能往復(fù)擺動(dòng)$\frac{5}{2π}$次．
要使小球擺動(dòng)的周期是1s，即$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{1000}}=1$，
解得$l=\frac{250}{π^2}$，即線的長(zhǎng)度應(yīng)該調(diào)整為$\frac{250}{π^2}cm$．
（3）$f（x）=3cos（x+\frac{π}{3}），x∈[0，2π）$的圖象，

由題意可知，設(shè)事件A=“小球離開(kāi)平衡位置的距離（位移的絕對(duì)值）比t=0時(shí)小球離開(kāi)平衡位置的距離小”，只需$|3cos（x+\frac{π}{3}）|≤\frac{3}{2}$，解得$0≤x≤\frac{π}{3}$或$π≤x≤\frac{4π}{3}$，由幾何概型可知，$P（A）=\frac{{（\frac{π}{3}-0）+（\frac{4π}{3}-π）}}{2π}=\frac{1}{3}$，所以估計(jì)符合條件的大約有$300×\frac{1}{3}=100$張．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的圖象的應(yīng)用，概率的求法，考查計(jì)算能力．