【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切并且與圓外切，圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）已知曲線與軸交于兩點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線與交于 (不垂直軸)，過(guò)作直線交于點(diǎn)且交軸于點(diǎn)，若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，證明：直線， 的斜率之積為定值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）圓與圓外切且與圓內(nèi)切，所以，橢圓的定義可知，曲線是以， 為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(右頂點(diǎn)除外)，進(jìn)而得橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為， ， ，與橢圓聯(lián)立得，若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，得，結(jié)合韋達(dá)定理得，由即可得解.

試題解析：

（Ⅰ）由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.

設(shè)圓的圓心為，半徑為.

因?yàn)閳A與圓外切且與圓內(nèi)切，

所以，

由橢圓的定義可知，曲線是以， 為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(右頂點(diǎn)除外)，

其方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為， ， ，

聯(lián)立方程組消去，得，

由根與系數(shù)關(guān)系，得

若構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，

即.

設(shè)，則，即，

,

化簡(jiǎn)得，

所以為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是上下頂點(diǎn)）．試問(wèn)：直線是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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(1)求證： ；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求的長(zhǎng)．

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（1）若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6），先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足的概率；

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(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？

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