如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點為F1(-1,0)右焦點為F2(1,0),短軸兩個端點為A、B,與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1,k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;     
(2)求證直線l與y軸相交于定點,并求出定點坐標.
分析:(1)由焦點坐標可得c值,由離心率可得a值,據(jù)a,b,c關系可求得b;
(2)設直線l的方程為y=kx+b,M、N坐標分別為 M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程,由韋達定理及斜率公式可用k,b表示出等式k1k2=
3
2
,由此可求得b值,進而可求得直線所過定點;
解答:解:(1)由題意可知:橢圓C的離心率e=
c
a
=
2
2
,且c=1,
∴b2=1,a2=2,
故橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1

(2)設直線l的方程為y=kx+b,M、N坐標分別為 M(x1,y1),N(x2,y2),
x2
2
+y2=1
y=kx+b
,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,
∴x1+x2=-
4kb
1+2k2
,x1x2=
2b2-2
1+2k2
,
∵k1=
y1+1
x1
,k2=
y2+1
x2

∴k1k2=
kx1+1+b
x1
kx2+1+b
x2
=
k2x1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2
x1x2
=
3
2
,
將韋達定理代入,并整理得
2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2)(b+1)
b-1
=3,即
b+1
b-1
=3
,解得b=2.
∴直線l與y軸相交于定點(0,2);
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學生轉化與化歸思想的運用和基礎知識的熟練掌握.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,短軸兩個端點為A、B.已知|
OB
|
、|
F1B
|
、
|F1F2
|
成等比數(shù)列,|
F1B
|
-
|F1F2
|
=2,與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1•k2=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證直線l與y軸相交于定點,并求出定點坐標;
(Ⅲ)當弦MN的中點P落在四邊形F1AF2B內(包括邊界)時,求直線l的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,短軸兩個端點為A、B.已知|
OB
|
|
F1B
|
、
|F1F2
|
成等比數(shù)列,|
F1B
|
-
|F1F2
|
=2,與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1•k2=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證直線l與y軸相交于定點,并求出定點坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點為F1(-1,0),右焦點為F2(1,0),短軸兩個端點為A、B.與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線l與y軸相交于定點,并求出定點坐標.
(3)當弦MN的中點P落在△MF1F2內(包括邊界)時,求直線l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(y≥0,a>b>0)和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成的曲線C如圖所示.曲線C交x軸于點A,B,交y軸于點G,H,點M是半圓上異于A,B的任意一點,當點M位于點(
6
3
,-
3
3
)時,△AGM的面積最大,則半橢圓的方程為
y2
2
+x2=1
(y≥0)
y2
2
+x2=1
(y≥0)

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