Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；

（2）討論函數(shù)的極值情況；

（3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝e； （2）當(dāng) 時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，；（3）k≤1．

【解析】

試題分析：（1）由 ，得，

又曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，

∴ ，即，解得a＝e．

（2） ．

①當(dāng)a≤0時(shí)，，f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，所以f（x）無極值；

②當(dāng)a＞0時(shí)，令，得，，

x∈（-∞，lna），＜0；x∈（lna，+∞），＞0；

∴f（x）在∈（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

故f（x）在x＝lna處取到極小值，且極小值為 ，無極大值．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x＝lna處取到極小值lna，無極大值．

（3）當(dāng)a＝1時(shí)， ，令，

則直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）沒有公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程g（x）＝0在R上沒有實(shí)數(shù)解．

假設(shè)k＞1，此時(shí)g（0）＝1＞0，，

又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知g（x）＝0在R上至少有一解，與“方程g（x）＝0在R上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1．

又k＝1時(shí)，，知方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解，

所以k的取值范圍是k≤1．

考點(diǎn)：考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和零點(diǎn)的存在性定理．