Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}+1$（其中a∈R）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 求出f'（x）=xe^x+ax=x（e^x+a），通過（i）當(dāng)a≥0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（ii）若a＜0，判斷f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（iii）若a=-1，利用單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：f′（x）=）=（x-1）e^x+e^x+ax=x（e^x+a），
①當(dāng)a≥0時(shí)，e^x+a＞0，∴x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，且f（0）=0，
此時(shí)f（x）=（x-1）e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}+1$（其中a∈R）不存在有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）單調(diào)，此時(shí)f（x）=（x-1）e^x+$\frac{1}{2}a{x^2}+1$（其中a∈R）不存在有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＜0且a≠-1時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（-a）  （a≠-1）．
a∈（-1，0）時(shí)，x₂＜0，函數(shù)在（-∞，ln（-a）））遞增，在（ln（-a），0）遞減，在（0，+∞）遞增，而f（0）=0，此時(shí)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；
a∈（-∞，-1），時(shí)，x₂＞0，函數(shù)在（-∞，0）遞增，在（0，ln（-a））遞減，在（ln（-a），+∞）遞增，而f（0）=0，此時(shí)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；
綜上，則a的取值范圍是：（-∞，-1）∪（-1，0）
故答案為：（-∞，-1）∪（-1，0）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題．