Question

13．設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）的距離之差的絕對(duì)值等于2的點(diǎn)的軌跡是E．過點(diǎn)B作與x軸垂直的直線l與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． -9
• B． -3
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 由條件便可得出軌跡E為雙曲線，并可求得方程，再令x=2，即可得到C，D的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：直角坐標(biāo)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）的距離之差的絕對(duì)值等于2，
由雙曲線的定義可得軌跡E是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，且c=2，a=1，b=$\sqrt{3}$，
方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，x=2代入方程得：y=±3，
可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），D（2，-3），
則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（4，3）•（0，-3）=4×0+3×（-3）=-9．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．