【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程,求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果;
(2)解法一:利用導(dǎo)數(shù)研究,得到函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞增,當(dāng)a=1時(shí)由得,符合題意;當(dāng)a>1時(shí),可證,從而存在零點(diǎn),使得,得到,利用零點(diǎn)的條件,結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后,利用基本不等式可以證得恒成立;當(dāng)時(shí),研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
解法二:利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可將,
令,上述不等式等價(jià)于,注意到的單調(diào)性,進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù)求得,進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a的對(duì)數(shù)不等式,解得a的取值范圍.
(1),,.
,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為;
(2)解法一:,
,且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,∴,∴成立.
當(dāng)時(shí), ,,,
∴存在唯一,使得,且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,,
因此
>1,
∴∴恒成立;
當(dāng)時(shí), ∴不是恒成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
解法二:等價(jià)于
,
令,上述不等式等價(jià)于,
顯然為單調(diào)增函數(shù),∴又等價(jià)于,即,
令,則
在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
∴,
,∴a的取值范圍是[1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)文化的興趣,某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.
(1)根據(jù)題目條件完成下邊列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與文理分科有關(guān).
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計(jì) | |
甲班 | |||
乙班 | 20 | ||
總計(jì) | 60 |
(2)現(xiàn)已知,,三人獲得優(yōu)秀的概率分別為,,,設(shè)隨機(jī)變量表示,,三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求的分布列及期望.
附:,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,<φ<)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,它的最小正周期為π,則( )
A. f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,) B. f(x)在上是減函數(shù)
C. f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是 D. f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=,,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直線DE和EF的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為________cm2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在《周髀算經(jīng)》中,把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖,把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖.圓方圖和方圓圖在我國(guó)古代的設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.山西應(yīng)縣木塔是我國(guó)現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑,它的正面圖如下圖所示.以該木塔底層的邊作正方形,以點(diǎn)或點(diǎn)為圓心,以這個(gè)正方形的對(duì)角線為半徑作圓,會(huì)發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對(duì)角線長(zhǎng)度相等.以該木塔底層的邊作正方形,會(huì)發(fā)現(xiàn)該正方形與其內(nèi)切圓的一個(gè)切點(diǎn)正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸缇上.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn),木塔底層的邊不少于47.5米,塔頂到點(diǎn)的距離不超過(guò)19.9米,則該木塔的高度可能是(參考數(shù)據(jù):)( )
A.66.1米B.67.3米C.68.5米D.69.0米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,過(guò)曲線外的一點(diǎn)(其中,為銳角)作平行于的直線與曲線分別交于.
(Ⅰ) 寫(xiě)出曲線和直線的普通方程(以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為 軸的正半軸建系);
(Ⅱ)若成等比數(shù)列,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,左右項(xiàng)點(diǎn)分別為,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若點(diǎn)在第一象限, 且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)與不重合,直線分別交軸于兩點(diǎn),求證: ;
(3)若點(diǎn)在左支上,是否存在實(shí)數(shù),使得到直線的距離與之比為定值?若存在,求出的值,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知(,),,且函數(shù)圖像上的任意兩條對(duì)稱軸之間距離的最小值是.
(1)求的值和的單調(diào)增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)的圖像,求函數(shù)在上的最值,并求取得最值時(shí)的的值.
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