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19.奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?π,0)∪(0,π),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x).當(dāng)0<x<π時(shí),有f′(x)sinx-f(x)cosx<0,則關(guān)于x的不等式f(x)<2f(π4)sinx的解集是π40π4π

分析 令g(x)=fxsinx,x∈(-π,0)∪(0,π),g′(x)=fxsinxfxcosxsin2x<0,0<x<π.可得函數(shù)g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?π,0)∪(0,π),因此函數(shù)g(x)為偶函數(shù).x∈(0,π),不等式f(x)<2f(π4)sinx化為:fxsinxfπ4sinπ4,利用單調(diào)性即可解出;x∈(-π,0),不等式f(x)<2f(π4)sinx化為:fxsinxfπ4sinπ4=fπ4sinπ4,利用單調(diào)性即可得出.

解答 解:令g(x)=fxsinx,x∈(-π,0)∪(0,π),
g′(x)=fxsinxfxcosxsin2x<0,0<x<π.
∴函數(shù)g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.
奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?π,0)∪(0,π),因此函數(shù)g(x)為偶函數(shù).
x∈(0,π),不等式f(x)<2f(π4)sinx化為:fxsinxfπ4sinπ4,∴π>xπ4
x∈(-π,0),不等式f(x)<2f(π4)sinx化為:fxsinxfπ4sinπ4=fπ4sinπ4,∴π4x0
綜上可得:x∈:π40π4π
故答案為:π40π4π

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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