分析 令g(x)=f(x)sinx,x∈(-π,0)∪(0,π),g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin2x<0,0<x<π.可得函數(shù)g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?π,0)∪(0,π),因此函數(shù)g(x)為偶函數(shù).x∈(0,π),不等式f(x)<√2f(π4)sinx化為:f(x)sinx<f(π4)sinπ4,利用單調(diào)性即可解出;x∈(-π,0),不等式f(x)<√2f(π4)sinx化為:f(x)sinx>f(π4)sinπ4=f(−π4)sin(−π4),利用單調(diào)性即可得出.
解答 解:令g(x)=f(x)sinx,x∈(-π,0)∪(0,π),
g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin2x<0,0<x<π.
∴函數(shù)g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.
奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?π,0)∪(0,π),因此函數(shù)g(x)為偶函數(shù).
x∈(0,π),不等式f(x)<√2f(π4)sinx化為:f(x)sinx<f(π4)sinπ4,∴π>x>π4
x∈(-π,0),不等式f(x)<√2f(π4)sinx化為:f(x)sinx>f(π4)sinπ4=f(−π4)sin(−π4),∴−π4<x<0.
綜上可得:x∈:(−π4,0)∪(π4,π).
故答案為:(−π4,0)∪(π4,π).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | (log2x)′=1xln2 | B. | (x+1x)′=1+1x2 | C. | (3x)'=3xlog3e | D. | (x2cosx)'=-2xsinx |
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A. | 13 | B. | −13 | C. | 2√23 | D. | −2√23 |
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