已知曲線y=和這條曲線上的一點P(2,),判斷曲線y=在點P處是否有切線,如果有,求出切線方程.

在曲線y=上點P附近取一點Q.設(shè)Q點的橫坐標(biāo)為2+Δx,則點Q的縱坐標(biāo)為.

∴函數(shù)的增量Δy=.

∴割線PQ的斜率.

∴Δx→0時,kPQ有極限為,這表明曲線y=在點P處有切線,且切線的斜率是,由點斜式可得切線方程為y－=(x－2),即x－4y+2=0.


解析:

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.對斜率存在的情況,可將切線是否存在的問題轉(zhuǎn)化為研究割線PQ的斜率的極限問題,因而可先求出函數(shù)的增量Δy,寫出kPQ,再討論kPQ的極限.

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