Question

8．在校運動會上，甲、乙、丙三位同學每人均從跳遠，跳高，鉛球，標槍四個項目中隨機選一項參加比賽，假設三人選項目時互不影響，且每人選每一個項目時都是等可能的
（1）求僅有兩人所選項目相同的概率；
（2）設X為甲、乙、丙三位同學中選跳遠項目的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=4³=64，再求出僅有兩人所選項目相同包含的基本事件個數(shù)m=C${\;}_{3}^{2}$${A}_{4}^{2}$=36，由此能求出僅有兩人所選項目相同的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）甲、乙、丙三位同學每人均從跳遠，跳高，鉛球，標槍四個項目中隨機選一項參加比賽，
假設三人選項目時互不影響，且每人選每一個項目時都是等可能的，
基本事件總數(shù)n=4³=64，
僅有兩人所選項目相同包含的基本事件個數(shù)m=C${\;}_{3}^{2}$${A}_{4}^{2}$=36，
∴僅有兩人所選項目相同的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{36}{64}$=$\frac{9}{16}$．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}×3×3}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}×3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．