Question

【題目】設(shè)數(shù)列（）的各項均為正整數(shù)，且.若對任意，存在正整數(shù)使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì).

（1）判斷數(shù)列與數(shù)列是否具有性質(zhì)；（只需寫出結(jié)論）

（2）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，，，求的最小值；

（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復(fù)選取）組成一個具有性質(zhì)的數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì)（2）的最小值為（3）證明見解析

【解析】

（1）不滿足存在正整數(shù)使得，故數(shù)列不具有性質(zhì)；根據(jù)定義可知數(shù)列具有性質(zhì)；

（2）由題可知，，，，，所以，再驗證可知時，數(shù)列不具有性質(zhì)，時，數(shù)列具有性質(zhì)，從而可知的最小值為；

（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意都有：若正整數(shù)，則，再根據(jù)定義推出矛盾，從而可證結(jié)論正確.

（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì).

（2）由題可知，，，，，

所以.

若，因為且，所以.

同理，

因為數(shù)列各項均為正整數(shù)，所以.所以數(shù)列前三項為.

因為數(shù)列具有性質(zhì)，只可能為之一，而又因為，

所以.

同理，有.

此時數(shù)列為.

但數(shù)列中不存在使得，所以該數(shù)列不具有性質(zhì).

所以.

當(dāng)時，取.（構(gòu)造數(shù)列不唯一）

經(jīng)驗證，此數(shù)列具有性質(zhì).

所以，的最小值為.

（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意都有：若正整數(shù)，則.

否則，存在滿足：存在，使得，此時，從中取出：

當(dāng)時，是一個具有性質(zhì)的數(shù)列；

當(dāng)時，是一個具有性質(zhì)的數(shù)列；

當(dāng)時，是一個具有性質(zhì)的數(shù)列.

（i）由題意可知，這個集合中至少有一個集合的元素個數(shù)不少于個，

不妨設(shè)此集合為，從中取出個數(shù)，記為，且.

令集合.

由假設(shè)，對任意，，所以.

（ii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設(shè)這個集合為，

從中取出個數(shù)，記為，且.

令集合.

由假設(shè).對任意，存在使得.

所以對任意，，

由假設(shè)，所以，所以，所以.

（iii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設(shè)這個集合為，

從中取出個數(shù)，記為，且.

令集合.

由假設(shè).對任意，存在使得.

所以對任意，，

同樣，由假設(shè)可得，所以，所以.

（iv）類似地，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設(shè)這個集合為，

從中取出個數(shù)，記為，且，

則.

（v）同樣，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設(shè)這個集合為，

從中取出個數(shù)，記為，且，同理可得.

（vi）由假設(shè)可得.

同上可知，，

而又因為，所以，矛盾.所以假設(shè)不成立.

所以原命題得證.