(1)求△ABC的頂點C的軌跡;
(2)若過點P(0,a)的直線與點C的軌跡相交于E、F兩點,求·的取值范圍;
(3)若G(-a,0),H(2a,0),Q點為C點軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點,則是否存在常數(shù)λ(λ>0),使得∠QHG=λ∠QGH恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
解:(1)設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,y),
∵++=0,
∴M點是△ABC的重心,故可得M為(,).
又||=||且向量與共線,
∴N在邊AB的中垂線上.∴N(0,).
而||=||,∴=·,
即x2=a2,即C點的軌跡是以(-2a,0),(2a,0)為焦點,實軸長為2a的雙曲線.
(2)設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),過點P(0,a)的直線方程為y=kx+a,代入x2=a2得(3-k2)x2-2akx-4a2=0.①
∴Δ=4a2k2+16a2(3-k2)>0,k2<4.
∴k2-3<1.
∴>4或<0.
而x1,x2是方程①的兩根,
∴x1+x2=,x1x2=.
∴·=(x1,y1-a)·(x2,y2-a)=x1x2+kx1·kx2
=(1+k2)x1x2=
=4a2(1+)∈(-∞,4a2)∪(20a2,+∞).
故·的取值范圍為(-∞,4a2)∪(20a2,+∞).
(3)設(shè)Q(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02=a2,即y02=3(x02-a2).
當(dāng)QH⊥x軸時,x0=2a,y0=3a,∴∠QGH=,即∠QHG=2∠QGH,故猜想存在λ=2,使∠QHG=λ∠QGH總成立.
當(dāng)QH不垂直x軸時,tan∠QHG=,tan∠QGH=,
∴tan2∠QGH=
===-=tan∠QHG.
又∵2∠QGH與∠QHG同在(0,)∪(,π)內(nèi),
∴2∠QGH=∠QHG.
故存在λ=2,使2∠QGH=∠QHG恒成立.
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