Question

13．已知不等式（mx+5）（x²-n）≤0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整數(shù)，則m+n的取值的集合為{-4，24}．

Answer 1

分析 對(duì)n分類討論，當(dāng)n≤0 時(shí)，由（mx+5）（x²-n）≤0得到mx+5≤0，由一次函數(shù)的圖象知不存在；當(dāng)n＞0 時(shí)，由（mx+5）（x²-n）≤0，利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想得出m，n的整數(shù)解，進(jìn)而得到所求和．

解答 解：當(dāng)n≤0 時(shí)，由（mx+5）（x²-n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞） 上恒成立，則m不存在；
當(dāng)n＞0 時(shí)，由（mx+5）（x²-n）≤0，可設(shè)f（x）=mx+5，g（x）=x²-n，
那么由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-\frac{5}{m}=\sqrt{n}}\end{array}\right.$，
再由m，n是整數(shù)得到$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=25}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=1}\end{array}\right.$，
因此m+n=24或-4．
故答案為：{-4，24}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立等知識(shí)，考查考生分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，屬于較難題，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)相同是解決本題的關(guān)鍵．