Question

已知直線l：y=x-1與⊙O：x²+y²=4相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B的兩條切線相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若N為線段AB上的任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)N的直線交⊙O于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)C、D的兩條切線相交于點(diǎn)Q，判斷點(diǎn)Q的軌跡是否經(jīng)過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），則過點(diǎn)O，A，B，P的圓的方程為x（x-x₁）+y（y-y₁）=0，與x²+y²=4聯(lián)立可得x₁x+y₁y=4，與直線直線l：y=x-1重合，故可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)N（x₀，y₀），Q（x₂，y₂）可得x₂x₀+y₂y₀=4，y₀=x₀-1，則點(diǎn)Q的軌跡為動(dòng)直線x₀x+（x₀-1）y=4，則恒成立可得

x+y=0 y+4=0

，從而解得．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），
則過點(diǎn)O，A，B，P的圓的方程為x（x-x₁）+y（y-y₁）=0．
即x²+y²-x₁x-y₁y=0…①
又因?yàn)椤袿：x²+y²=4…②
由①-②得，x₁x+y₁y=4，即為直線AB的方程．
又因?yàn)锳B方程為y=x-1，
所以

x1

-1

=

y1

-1

=

4

-1

，解得x₁=4，y₁=-4，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-4）．
（2）設(shè)N（x₀，y₀），Q（x₂，y₂），
由（1）可知直線CD的方程為：x₂x+y₂y=4，
因?yàn)镹（x₀，y₀）在直線CD上，所以x₂x₀+y₂y₀=4．
又因?yàn)镹（x₀，y₀）在直線AB上，所以y₀=x₀-1．
即x₂x₀+y₂（x₀-1）=4，
所以點(diǎn)Q的軌跡為動(dòng)直線x₀x+（x₀-1）y=4．
如果點(diǎn)Q的軌跡過定點(diǎn)，那么x₀x+（x₀-1）y=4與x₀無關(guān)．
即（x+y）x₀-y-4=0與x₀無關(guān)，
所以

x+y=0 y+4=0

解得

x=4 y=-4

所以點(diǎn)Q的軌跡恒過定點(diǎn)（4，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．