Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx（ω＞0）的周期為4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移

2

3

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
P、Q分別為函數(shù)g（x）圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（如圖），求∠OQP的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為 f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），根據(jù)函數(shù)的周期為4=

2π

ω

，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．
（2）由條件根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得函數(shù)g（x）=

3

sin

π

2

x，求出P、Q的坐標(biāo)，利用余弦定理求得cosθ 的值，可得θ的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx（ω＞0）=

3

（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）=

3

sin（ωx+

π

3

），
由于函數(shù)的周期為4=

2π

ω

，得ω=

π

2

，
故f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

）．
（2）將f（x）的圖象沿x軸向右平移

2

3

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=

3

sin

π

2

x．
因?yàn)镻、Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，
∴P（1，

3

）、Q （3，-

3

）．
所以O(shè)P=2，PQ=4，OQ=

12

，cosθ=

OQ2+PQ2-OP2

2OQ•QP

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)和角公式的變換和三角函數(shù)圖象周期、對稱、平移等基本性質(zhì)，考查運(yùn)用有關(guān)勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，屬于中檔題．